Harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
sind kritische Punkte des Dirichletschen Energiefunktionals
und liefern damit die natürliche Verallgemeinerung
von Geodätischen auf Mannigfaltigkeiten. Unter gewissen
Voraussetzungen an die Randdaten und die Zielmannigfaltigkeiten
lässt sich die Existenz energieminimierender und damit
schwach harmonischer Abbildungen in Sobolevklassen zeigen.
Äußere Variationen liefern die
Euler-Lagrange Gleichung, innere Variationen dagegen einen
zusätzlichen Erhaltungssatz, die Noethersche Gleichung,
mit deren Hilfe man die für die Regularitätstheorie
energieminimierender bzw. stationärer harmonischer
Abbildungen entscheidende Monotonieformel herleiten kann.
Für allgemeine schwach harmonische Abbildungen hingegen
steht die Monotonieformel nicht zur Verfügung, und andere
Methoden aus der Regularitätstheorie partieller
Differentialgleichungen
müssen herangezogen werden.
Die Vorlesung
richtet sich an Mathematik- und Physikstudenten
(Diplom) des Hauptstudiums.
Vorkenntnisse
aus den Vorlesungen Funktionalanalysis und Variationsrechnung
sind hilfreich.
Die auch für andere Anwendungen
nützlichen analytischen Hilfsmittel aus der Regularitätstheorie
elliptischer partieller Differentialgleichungen werden im ersten Teil
der Vorlesung
entwickelt.
Hildebrandt, S.:
Harmonic Mappings of Riemannian Manifolds.
In: Harmonic Mappings and Minimal Immersions (E. Giusti ed.),
Springer Lecture Notes 1161,
Berlin - Heidelberg - New York 1985.
Simon, L.:
Theorems on Regularity and Singularity of Energy Minimizing Maps.
Birkhäuser 1996.
Dozent:
Priv.-Doz. Dr. Heiko von der Mosel,
Beringstraße 4, Raum 16
