Das Ziel dieser 2 stündigen Vorlesung ist die Beschreibung und Charakterisierung von Teilmengen des euklidischen Raums mit Hilfe von maßtheoretischen Begriffen und elementargeometrisch definierten Krümmungsenergien. Wir beginnen mit der Einführung der von P. Jones definierten Beta-Zahlen, mit deren Hilfe man die Regularitätseigenschaften von Borelmengen untersuchen kann. Insbesondere befassen wir uns hier mit der uniformen Rektifizierbarkeit von Mengen. Danach werden diese Resultate mit der sogenannten Menger Krümmung ausgeweitet. Geht man bereits von stetigen geometrischen Objekten wie Kurven oder Flächen im Raum aus, dann ermöglicht die Menger Krümmung einen Regularitätsgewinn, der direkt mit den Morrey-Sobolevschen Einbettungssätzen für Funktionen vergleichbar ist. Zusätzlich hat man eine unmittelbare Verbindung von der Maßtheorie zur Variationsrechnung, da man die Menger Krümmung innerhalb von Knotenklassen von Kurven oder in Klassen von Flächen gleichen Geschlechts minimieren kann. Außer elementaren maßtheoretischen Grundlagen und der Kenntnis des Hausdorff-Maßes werden keine weiteren Grundlagen aus dem Hauptstudium vorausgesetzt.

Eingebettet in diese Vorlesung ist eine Gastvorlesung von Professor Dr. Pavel Strzelecki (Univ. Warschau) mit 8 Vorlesungen im Juni 2009. Herr Strzelecki wird in seiner Übersichtsvorlesung diese Zusammenhänge zwischen der Maßtheorie, der Geometrischen Analysis und der harmonischen Analysis allgemein verständlich erläutern. Alle Interessenten, auch diejenigen, die meine Vorlesung während des Sommersemesters nicht besuchen können, sind herzlich zu dieser Gastvorlesung eingeladen. Auch hierzu ist das Verständnis von elementaren maßtheoretischen Grundlagen hilfreich.

Die Vorlesung richtet sich an Mathematikstudenten (Diplom und Bachelor) mit Vorkenntnissen der Analysis I--III und der Linearen Algebra I. Begleitend dazu wird eine Übung angeboten.

Desweiteren wird auch in diesem Sommer von Herrn Priv.-Doz. A. Wagner und mir ein Ferienseminar im Kloster Steinfeld vom 31.8. 2009 bis 4.9. 2009 angeboten. Auch aus dem Bereich der Geometrischen Analysis werden dazu Vorträge angeboten.

Literatur

• H. Pajot: Analytic capacity, rectifiability, Menger curvature and the Cauchy integral. Lecture Notes in Mathematics, 1799. Springer-Verlag, Berlin, 2002
• K. J. Falconer: The geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986
• P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
• G. David, St. Semmes: Analysis of and on uniformly rectifiable sets. Mathematical Surveys and Monographs, 38. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.

Informationen

Dozent:	Professor Dr. Heiko von der Mosel
Termine:	Dienstag, 15:45 - 17:45 Uhr, Hösaal V
Beginn:	28. April 2009
Übung:	nach Vereinbarung
Hinweis:	Gastvorlesung von Professor Dr. Pavel Strzelecki (Univ. Warschau) vom 9.6.2009 bis 1.7.2009. Weitere Informationen