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Geometrische Analysis I – Knoten und Minimalflächen -- Vorlesung

In der geometrischen Knotentheorie betrachtet man sogenannte Knotenenergien, also nichtlokale und hinreichend singuläre Energien, welche unendliche Energiebarrieren zwischen verschiedenen Knotenklassen erzeugen. Dadurch lassen sich solche Energien innerhalb gegebener Knotenklassen minimieren, um so besonders schöne, optimal in den Raum eingegebettete Repräsentanten dieser Knotenklassen zu finden. Andererseits findet man zu eingebetteten Kurven endlicher Länge immer eine oberflächenminimierende zweidimensionale Fläche vom Typ der Kreisscheibe, welche die Kurve als Randkurve parametrisiert. Diese als Lösung des klassischen Plateauproblems erhaltenen Flächen sind Minimalflächen, also Flächen verschwindender mittlerer Krümmung, und als solche bereits bestens untersucht. Was passiert nun, wenn man die Optimierung der Randkurvengestalt mit der Minimierung des eingespannten Flächeninhalts kombiniert? Dieser neuen Fragestellung werden wir in der Vorlesung nachgehen und bewegen uns damit in einem aktuellen Forschungsgebiet der geometrischen Analysis. Zunächst werden wir eine Möglichkeit vorstellen, das Plateauproblem mit Methoden der Variationsrechnung zu lösen. Danach beweisen wir die Existenz von minimierenden Kurven für spezielle Knotenenergien, den mittlerweile gut untersuchten Tangenten-Punkt Energien, für die es auch eine schon sehr gut entwickelte Numerik gibt. Dann verbinden wir die beiden Minimierungsaufgaben und stellen in vereinfachten Situationen fest, dass es hier einen Wettbewerb zwischen der Gestaltsoptimierung der Kurve und der Flächenminimierung gibt. Danach zeigen wir die Existenz von Lösungen dieses neuen, kombinierten Variationsproblems für das totale Energiefunktional, welches eine Linearkombination von Knotenenergie und Plateauenergie, also dem kleinstmöglichen eingespannten Flächeninhalt, ist. Wenn es die Zeit zulässt, werden wir uns später mit der Regularitätstheorie für die Lösungen dieses Variationsproblems befassen. Die Herausforderung ist hier, dass die Plateauenergie als Infimum über den Flächeninhalt eingespannter Flächen ein nicht differenzierbares Funktional ist, wodurch es zunächst unklar ist, wie man Euler-Lagrange Gleichungen herleiten soll. Das gelingt unter Verwendung einer alternativen Darstellung der klassischen Dirichletenergie, nämlich mit Hilfe des sogenannten Douglas Funktionals, und mit geeigneten Umparametrisierungen der Randkurven.

Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten und aktuellen noch nicht veröffentlichten Aufzeichnungen. Wir werden allerdings alle Begriffe sorgfältig einführen und nur wenige black boxes aus der Theorie der Minimalflächen oder der geometrischen Knotentheorie ohne Beweis verwenden. Die Vorlesung ist deswegen für Masterstudierende der Mathematik mit Interesse an der Analysis bestens geeignet. Vorkenntnisse aus der Analysis I-III und Linearen Algebra I,II werden vorausgesetzt.

In den Übungen werden teilweise Ausarbeitungen von Studierenden zu speziellen Themen vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung vorgerechnet. Diese Termine werden gesondert vereinbart. Die Vorlesung und die Übung finden montags statt.

Ergänzent zur Vorlesung wird ein Blockseminar gegen Ende der Vorlesungszeit angeboten, für das Sie sich bei Interesse über RWTH-Online anmelden können. Die näheren Absprachen hierzu werden zu Beginn der Vorlesungszeit getroffen. Es werden dort verschiedene in der aktuellen Forschung relevante Funktionenräume (fraktionelle Sobolevräume, Besovräume, Triebel-Lizorkin Räume) diskutiert und auf deren Anwendungen in der Geometrischen Analysis eingegangen.

Literatur

Originalarbeiten, auf die konkret in der Vorlesung hingewiesen wird.

Informationen

Übungsblätter

1. Serie vom 2.11.2026, pdf

Differential- und Integralrechnung

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Lineare Algebra

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Ferien-Seminar im Kloster Steinfeld

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