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Geometrische Analysis II – Die Palais-Smale Bedingung in der Geometrischen Knotentheorie -- Vorlesung

Die Palais-Smale Bedingung (kurz: (PS)-Bedingung) ist ein zentraler Bestandteil moderner Theorien über kritische Punkte von Energiefunktionalen, wie etwa der Mountain-Pass Theorie, Ljusternik-Schnirelman Resultate und Morse Theorie via Morse-Bott Sätzen. In der geometrischen Knotentheorie wird häufig mit nichlokalen, hochgradig nichtlinearen und nicht-konvexen Funktionalen gearbeitet, sogenannten Knotenenergien, für die es bislang keinen Nachweis einer (PS)-Bedingung gab. In einer jüngeren Forschungsarbeit unserer Arbeitsgruppe ist dies nun für gewisse Knotenenergien und deren Linearkombinationen mit der Euler-Bernoullischen Krümmungsenergie gelungen. Ich werde über diese Fortschritte in der Vorlesung berichten. Wir starten mit Resultaten in einem abstrakten setting von stetig differenzierbaren Energiefunktionalen auf Banach- oder Hilbert-Mannigfaltigkeiten und präsentieren hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit einer (PS)-Bedingung. Für die konkreten Anwendungen widmen wir uns dann den geschlossenen, injektiven Kurven, die nach Bogenlänge parametrisiert sind, und zeigen, dass diese Unterklasse von Knoten tatsächleich eine glatte Hilbert-Untermannigfaltigkeit des zugehörigen Energieraums ist, in der Regel ein (fraktioneller) Sobolevraum. Danach betrachten wir als Prototypbeispiel zunächst die Krümmungsenergie alleine, weisen die (PS)-Bedingung nach und besprechen als unmittelbare Konsequenzen Langzeitresultate für den zugehörigen Hilbert-Gradientenfluss, sowie Minimierbarkeit auf jeder Zusammenhangskomponente der Mannigfaltigkeit, welche den einzelnen Knotenklassen entsprechen. Anschließend beschäftigen wir uns mit demselben Programm für Linearkombinationen aus Krümmungsenergie und einer großen Klasse von Knotenenergien, und schließlich gehen wir dazu über, für die verallgemeinerten Tangenten-Punkt Energien als herausgehobene Beispielfamilie die (PS)-Bedingung nachzuweisen. Dazu kommen jeweils noch Regularitätsbeweise für kritische Punkte der Energien auf der Bogenlängenmannigfaltigkeit.
Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten und aktuellen noch nicht veröffentlichten Aufzeichnungen. Wir werden allerdings alle Begriffe sorgfältig einführen und nur wenige black boxes aus der Topologie ohne Beweis verwenden. Die Vorlesung ist deswegen für Masterstudierende der Mathematik mit Interesse an der Analysis bestens geeignet. Vorkenntnisse aus der Analysis I-III und Linearen Algebra I,II werden vorausgesetzt.

In den Übungen werden teilweise Ausarbeitungen von Studierenden vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet. Diese Termine werden gesondert vereinbart. Die Vorlesung findet montags und die Übung dienstags statt.

Literatur

Originalarbeiten, auf die konkret in der Vorlesung hingewiesen wird.

Informationen

Übungsblätter

1. Serie vom TBA, pdf

Differential- und Integralrechnung

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Lineare Algebra

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Ferien-Seminar im Kloster Steinfeld

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