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Geometrische Analysis I – Geometrische Knotentheorie WS22-23

In dieser zweistündigen Vorlesung (V2 Ü1) werden anhand der Tangenten-Punkt-Energie die Eigenschaften einer Knotenenergie diskutiert. Zunächst stehen die Selbstabstoßungseigenschaften im Vordergrund, wenn wir beweisen, dass Kurven endlicher Tangenten-Punkt-Energie eindimensionale Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums sind. Die Kontrolle der auf P. Jones zurückgehenden beta-Zahlen liefert anschließend auch die Hölderregularität der Einheitstangente für solche Kurven. Die zugehörigen a -priori-Abschätzungen in klassischen Funktionenräumen sichern die für die Geometrische Knotentheorie relevanten Eigenschaften der Tangenten-Punkt-Energie: self-repulsive, tight,strong und die Minimierbarkeit in allen zahmen Knotenklassen. Mit anderen Techniken beweisen wir auch die Eindeutigkeit des Kreises als globalen Minimierer unter allen geschlossenen Kurven. Später wird das Regularitätsresultat verfeinert, indem die Blattsche Charakterisierung von Kurven endlicher Energie in Termen fraktioneller Sobolevregularität nachgewiesen wird. Dies ist auch Grundlage der Anwendbarkeit des Palaisschen Prinzips der symmetrischen Kritikalität, um nichtminimierende kritische Knoten für die Tangenten-Punkt-Energie zu generieren. Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten. In den Übungen werden teilweise Lösungen zu Übungsaufgaben vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet. Möglich sind auch ergänzende Kurzvorlesungen an den Übungsterminen, das wird jeweils rechtzeitig angekündigt.

Die Vorlesung richtet sich an Masterstudierende der Mathematik und Physik. Die Grundbegriffe aus der Knotentheorie werden in der Vorlesung erklärt. Die untenstehende Literatur kann dazu genutzt werden, diese Begriffe zu vertiefen.
Vorkenntnisse aus der Analysis und Linearen Algebra werden vorausgesetzt.

Literatur

1. C.C. Adams: The Knot Book. AMS 2004.
2. C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter 2010. 2001.
3. G. Burde, H. Zieschang: Knots.De Gruyter 1985.
4. L.H. Kauffman: On Knots. Princeton Univ. Press 1987.
5. J. O'Hara: Energy of knots and conformal geometry. World Scientific 2003.

Informationen

Übungsblätter

1. Serie vom 21.10.2022, pdf

Differential- und Integralrechnung

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Lineare Algebra

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Ferien-Seminar im Kloster Steinfeld

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