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Geometrische Analysis I – Geometrische Knotentheorie WS22-23
In dieser zweistündigen Vorlesung (V2 Ü1) werden anhand der Tangenten-Punkt-Energie die Eigenschaften
einer Knotenenergie diskutiert. Zunächst stehen die Selbstabstoßungseigenschaften im Vordergrund, wenn wir beweisen, dass Kurven endlicher
Tangenten-Punkt-Energie eindimensionale Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums sind. Die Kontrolle der auf P. Jones zurückgehenden
beta-Zahlen liefert anschließend auch die Hölderregularität der Einheitstangente für solche Kurven. Die zugehörigen a -priori-Abschätzungen in
klassischen Funktionenräumen sichern die für die Geometrische Knotentheorie relevanten Eigenschaften der Tangenten-Punkt-Energie: self-repulsive,
tight,strong und die Minimierbarkeit in allen zahmen Knotenklassen. Mit anderen Techniken beweisen wir auch die Eindeutigkeit des Kreises als globalen
Minimierer unter allen geschlossenen Kurven. Später wird das Regularitätsresultat verfeinert, indem
die Blattsche Charakterisierung von Kurven endlicher Energie in Termen fraktioneller Sobolevregularität nachgewiesen wird. Dies ist auch Grundlage der
Anwendbarkeit des Palaisschen Prinzips der symmetrischen Kritikalität, um nichtminimierende kritische Knoten für die Tangenten-Punkt-Energie zu
generieren. Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten.
In den Übungen werden teilweise Lösungen zu Übungsaufgaben vorgestellt,
oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet. Möglich sind auch ergänzende Kurzvorlesungen an den Übungsterminen, das wird jeweils rechtzeitig
angekündigt.
Die Vorlesung richtet sich an Masterstudierende der Mathematik und Physik. Die Grundbegriffe aus der Knotentheorie werden in der Vorlesung erklärt.
Die untenstehende Literatur kann dazu genutzt werden, diese Begriffe zu vertiefen.
Vorkenntnisse aus der Analysis und Linearen Algebra werden vorausgesetzt.
Literatur
1. C.C. Adams: The Knot Book. AMS 2004.
2. C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter 2010. 2001.
3. G. Burde, H. Zieschang: Knots.De Gruyter 1985.
4. L.H. Kauffman: On Knots. Princeton Univ. Press 1987.
5. J. O'Hara: Energy of knots and conformal geometry. World Scientific 2003.
Informationen
Dozent: | Professor Dr. Heiko von der Mosel |
Vorlesung: | Montag, 12:30 - 14:00 Uhr, Hörsaal IV |
Beginn: | 17. Oktober 2022 |
Übung: | Freitag, 12:30 - 14:00 Uhr, Hörsaal III |
Beginn: | 21. Oktober 2022 |
Übungsblätter
1. Serie vom 21.10.2022, pdf
Differential- und Integralrechnung
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Lineare Algebra
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Ferien-Seminar im Kloster Steinfeld
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