In dieser Vorlesung werden drei Themenbereiche behandelt. Zunächst geht es um geometrische Variationsprobleme für Cartan Funktionale. Diese anisotropen Energiefunktionale bilden die natürliche Verallgemeinerung des Flächenfunktionals und werden zum Beispiel zur mathematischen Modellierung von anisotropen Phasenübergängen oder für die numerische Bildverarbeitung herangezogen. Unter Berücksichtigung geeigneter geometrischer Randbedingungen für verschiedenartige Randwertprobleme wird die Existenztheorie mit einer direkten Methode nachgewiesen. Die geometrische Invarianz dieser Funktionale führt auf eine Singularität des Integranden, die zunächst die Herleitung einer Euler-Lagrange-Gleichung verhindert. Es wird gezeigt, wie man trotzdem eine Regularitätstheorie für Minimierer initiieren kann, womit die Vorlesung auch Fragestellungen aktuellster mathematischer Forschung berührt. Im zweiten Teil der Vorlesung werden Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungen auf unbeschränkten Gebieten behandelt, die aufgrund des Mangels an Kompaktheit mit maßtheoretischen Methoden behandelt werden müssen. Das wesentlich von P.L. Lions entwickelte Konzept der konzentrierten Kompaktheit charakterisiert die Konvergenz von Maßen, die aus schwach konvergenten Folgen von Sobolevfunktionen hervorgehen. Als eine Anwendung wird dann die Existenz von optimierenden Funktionen für den Sobolevschen Einbettungssatz mit einer von H. Brezis und E. Lieb entwickelten Variationsmethode bewiesen. Der abschließende Teil der Vorlesung befasst sich mit kritischen Punkten von Funktionalen, die nicht notwendig lokale Minima oder Maxima sind. Mit Hilfe der Mountain-Pass Theorie, die in ihren grundlegenden Zügen von P. Rabinowitz entwickelt wurde, können solche kritischen Punkte gefunden werden. Mögliche Anwendungen sind die Existenz von sogenannten großen Lösungen der Gleichungen vorgeschriebener mittlerer Krümmung nach M. Struwe, oder die Lösung eines Eigenwertproblems für den Laplace Operator mit kritischer Nichtlinearität nach H. Brezis and L. Nirenberg.

Die Vorlesung, zu der auch Übungen angeboten werden, richtet sich an Mathematik- und Physikstudenten (Bachelor, Master, Diplom) im Hauptstudium. Vorkenntnisse über Sobolevfunktionen werden in einem Umfang vorausgesetzt, wie sie etwa in der Variationsrechnung I oder in Partiellen Differentialgleichungen I behandelt werden. Weitere Vorkenntnisse zu grundlegenden Variationstechniken aus der Variationsrechnung I sind sehr hilfreich. In Form eines Ferienseminars (Kloster Steinfeld) in den Sommersemesterferien werden u.a. Spezialthemen aus dieser Vorlesung vertieft, siehe Ferienseminar zur Variationsrechnung.

Die diesjährige Gastvorlesung von Prof. Dr. Jan Kristensen, siehe den Hinweis auf die Gastvorlesung, behandelt unter anderem die Regularitätstheorie für Minimierer von Variationsproblemen für Mehrfachintegrale. Der Besuch dieser Sonderveranstaltung mit etwa sechs Vorlesungsterminen im Juni und Juli 2010 ist uneingeschränkt empfehlenswert.

Literatur

• G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt: One-dimensional variational problems. Clarendon Press Oxford 1998.
• B. Dacorogna: Introduction to the calculus of variations. Second ed. Imperial College Press London 2009.
• M. Giaquinta, S. Hildebrandt: Calculus of variations I,II. Grundlehren der Math. Wiss. 310, 311, Springer Berlin 1996.
• J. Jost, X. Li-Jost: Calculus of variations. Cambridge Studies in Adv. Math. 64, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1998.
• M. Struwe: Variational methods. Springer Berlin 1990.
• L.C. Evans: Partial differential equations. Graduate Studies in Math. 19, AMS Providence Rhode Island 1998.
• L.C. Evans, R.F. Gariepy: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Adv. Math. CRC Press Boca Raton 1992.

Informationen

Dozent:	Professor Dr. Heiko von der Mosel
Termine:	Montag, 15:40 - 17:10 Uhr, Hörsaal IV
	Donnerstag, 13:30 - 15:00 Uhr, Hörsaal IV
Beginn:	15. April 2010
Übung:	Freitag, 13:30 - 15:00 Uhr, Hörsaal V
Beginn:	16. April 2010

Übungsblätter

• Serie vom 21.4.2010, pdf
• Serie vom 29.4.2010, pdf
• Serie vom 20.5.2010, pdf
• Serie vom 17.6.2010, pdf