Vorlesungen/Seminare aus dem Sommersemester 2013 oder später

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Geometrische Analysis I – Geometrische Knotentheorie

In dieser zweistündigen Vorlesung (V2 Ü1) werden ausgewählte Themen aus der Geometrischen Knotentheorie behandelt.
Hier versucht man im Gegensatz zur klassischen Knotentheorie aus geometrischen Eigenschaften einzelner Repräsentanten Informationen über die zugehörige Knotenklasse zu gewinnen. Solche ausgezeichneten Repräsentanten gewinnt man zum Beispiel durch die Minimierung sogenannter Knotenenergien, die unendlich hohe Energiebarrieren zwischen verschiedenen Knotenklassen bilden. Repulsive Potentiale oder geometrisch definierte Selbstabstoßungsenergien und ihre Eigenschaften werden in der Vorlesung besprochen, ausgewählte Energien werden wir in vorgegebenen Knotenklassen minimieren und die Eindeutigkeit von minimierenden Knoten diskutieren. Anschließend untersuchen wir, inwieweit sich klassische Knoteninvarianten wie die crossing number, oder die stick number durch Knotenenergien kontrollieren lassen, so dass wir die Zahl der Knotentypen unterhalb vorgegebener Energiewerte beschränken können. Desweiteren diskutieren wir mögliche Diskretisierungen von Knotenenergien. Wir beweisen und erweitern den klassischen Satz von Fary und Milnor, der besagt, dass die Totalkrümmung verknoteter Raumkurven durch 4 pi nach unten abgeschätzt ist und wenden diese Erweiterung auf elastische Knoten als Modell verknoteter biegsamer Drähte. Schließlich diskutieren wir die Regularität kritischer Punkte von Knotenenergien und zeigen Verbindungen zur harmonischen Analysis auf. Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten, für die Grundlagen kann man zu einzelnen Themen in Auszügen untenstehende Literatur zu Rate ziehen. In den Übungen werden teilweise Lösungen zu Übungsaufgaben vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet.

Die Vorlesung richtet sich an Masterstudierende der Mathematik und Physik.
Vorkenntnisse aus der Analysis und Linearen Algebra werden vorausgesetzt.


Literatur

1. C.C. Adams: The Knot Book. AMS 2004.
2. C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter 2010. 2001.
3. G. Burde, H. Zieschang: Knots.De Gruyter 1985.
4. L.H. Kauffman: On Knots. Princeton Univ. Press 1987.
5. J. O'Hara: Energy of knots and conformal geometry. World Scientific 2003.


Informationen

Dozent: 

Professor Dr. Heiko von der Mosel

Termine: 

Donnerstag, 12:15 - 13:45 Uhr, Hörsaal IV

Beginn: 

22. Oktober 2014

Übung: 

Mittwoch, 12:15 - 13:45 Uhr, Hörsaal IV

Beginn: 

26. Oktober 2014


Übungsblätter

1. Serie vom , pdf

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