Vorlesungen/Seminare aus dem Sommersemester 2013 oder später

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Geometrische Analysis II – Neues aus der Geometrische Knotentheorie

In dieser zweistündigen Vorlesung (V2 Ü1) werden ausgewählte Themen aus der Geometrischen Knotentheorie behandelt.
Hier versucht man im Gegensatz zur klassischen Knotentheorie aus geometrischen Eigenschaften einzelner Repräsentanten Informationen über die zugehörige Knotenklasse zu gewinnen. Solche ausgezeichneten Repräsentanten gewinnt man zum Beispiel durch die Minimierung sogenannter Knotenenergien, die unendlich hohe Energiebarrieren zwischen verschiedenen Knotenklassen bilden. Wir werden uns neuere Entwicklungen über elastische Knoten ansehen. Das sind Grenzkonfigurationen von Minimierern der klassischen Biegenergie zusammen mit einem kleinen Vielfachen eines Selbstabstoßungsterms. Wenn man den Vorfaktor gegen Null schickt, konvergieren diese minimierenden Knoten gegen Grenzkonfigurationen mit Selbstschnitten. In manchen Fällen kann man diese Grenzkonfigurationen (elastische Knoten) dann genau beschreiben. Weiterhin befassen wir uns mit dem berühmten und verblüffenden Zusammenhang zwischen Link, Twist und Writhe, welcher dank der DNA-Forschung überhaupt erst entdeckt wurde. Eine aktuell bearbeitete Verallgemeinerung auf nichtglatte Kurven wird auch vorgestellt. Wenn es die Zeit zulässt, werden wir auch die Diskretisierung der Tangenten-Punkt-Energie durch sogenannte biarc-curves besprechen. Dies sind Kurven, die aus Doppelkreisbögen zusammengesetzt sind, und daher für numerische Berechnungen geeignet sind. Gegebene Punkt-Tangenten-Daten lassen sich durch solche biarc-curves miteinander verbinden. Das führt analytisch auch auf einen Gamma-Konvergenzsatz für die diskretisierten Funktionale gegen die kontinuierliche Tangenten-Punkt-Energie. Die Inhalte dieser Vorlesung stützen sich zu einem großen Teil auf neuere Resultate, die in meiner Arbeitsgruppe entstanden sind. Die Vorlesung beruht deshalb überwiegend auf Originalarbeiten sowie auf noch nicht veröffentlichtem Material, für die Grundlagen kann man zu einzelnen Themen in Auszügen untenstehende Literatur zu Rate ziehen. In den Übungen werden teilweise Lösungen zu Übungsaufgaben vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet.

Die Vorlesung richtet sich an Masterstudierende der Mathematik und Physik.
Vorkenntnisse aus der Analysis und Linearen Algebra werden vorausgesetzt. Die Vorlesungen werden aufgezeichnet und sind im Lernraum nach und nach abrufbar, die Übungen finden dann digital und live nach Ankündigung statt.

Literatur

1. C.C. Adams: The Knot Book. AMS 2004.
2. C. Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter 2010. 2001.
3. G. Burde, H. Zieschang: Knots.De Gruyter 1985.
4. L.H. Kauffman: On Knots. Princeton Univ. Press 1987.
5. J. O'Hara: Energy of Knots and Conformal Geometry. World Scientific 2003.
6. G. Buttazzo, M. Giaquinta, St. Hildebrandt: One-dimensional Variational Problems. Oxford University Press 1998.
7. A. Braides: Gamma-convergence for Beginners. Oxford University Press 2002.
8. Th. Bröcker, Kl. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer 1973.
9. M. Hirsch: Differential Topology. Springer 1976 (corrected ed. 1997).
10. V. Guillemin, A. Pollack: Differential Topology. Prentice Hall 1974.

Informationen

Dozent:	Professor Dr. Heiko von der Mosel
Termine:	digital ab KW 15
Beginn:
Übung:	digital live nach Ankündigung
Beginn:

Übungsblätter

1. Serie vom 19.5.2021 pdf
2. Serie vom 15.6.2021 pdf

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