Vorlesungen/Seminare aus dem Sommersemester 2013 oder später

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Geometrische Analysis I – Knotenklassen via lokaler Distorsion -- Vorlesung

Ein neuer Ansatz über eine lokale Variante der Gromovschen Distorsion erlaubt den Beweis der Knotenäquivalenz unter sehr geringen Regularitätsannahmen. Dabei geht es darum, die Isomorphie der Fundamentalgruppen von Außenräumen nachzuweisen, sowie vertiefend auch die Isomorphie der peripheren Untergruppen der Fundamentalgruppen. Die grundlegende Technik basiert auf der Konstruktion von Pseudogradientenflüssen in diesen Außenräumen, unter dem die Abstandsfunktion monoton wächst oder fällt. Diese aus der Mountain-Pass-Theorie stammende Technik liefert also ein analytisches Werkzeug, um topologische Aussagen zu treffen. Als Anwendung beweisen wir die Existenz kritischer Punkte für skalierungsinvariante Knotenenergien mit Symmetrieargumenten. Das führt für alle nicht-trivialen Torusknotenklassen auf mindestens zwei verschiedene kritische Punkte dieser Energien. Als Beispiele seien hier die Möbiusenergie und die skalierungsinvariante Tangenten-Punkt Energie genannt. Um die lokale Distorsion von Folgen von Knoten zu kontrollieren schneiden wir mögliche Energiekonzentrationen bei den Kurven aus und ersetzen diese Kurvenbögen linear, womit man die zugrunde liegenden Energieräume (fraktionelle Sobolevräume mit kritischem Exponenten) verlässt. Das erfordert sorgfältige Abschätzungen, die an Einbettungen dieser Räume in den Raum der Funktionen beschränkter mittleren Oszillation (BMO) erinnern. Sollte es die Zeit erlauben, dann beweisen wir noch die optimale Hölderregularität der Tangenten von Kurven mit endlicher Energie, oder allgemeiner von Kurven mit einer geometrischen Morreybedingung für die Energie. Die daraus resultierenden geometrischen Varianten der Soboleveinbettungssätze oder des Dirichlet Growth Theorems sind scharf, wie die Charakterisierung der Energieräume in Termen fraktioneller Sobolevräume zeigt.
Die Vorlesung beruht überwiegend auf Originalarbeiten und aktuellen noch nicht veröffentlichten Aufzeichnungen. Wir werden allerdings alle Begriffe sorgfältig einführen und nur wenige black boxes aus der Topologie ohne Beweis verwenden. Die Vorlesung ist deswegen für Masterstudierende der Mathematik mit Interesse an der Analysis bestens geeignet. Vorkenntnisse aus der Analysis I-III und Linearen Algebra I,II werden vorausgesetzt.

In den Übungen werden teilweise Ausarbeitungen von Studierenden vorgestellt, oder auch technische Teile und Beispiele zur Vorlesung gerechnet. Diese Termine werden gesondert vereinbart. Die Vorlesung findet freitags und die Übung montags statt.

Literatur

Originalarbeiten, auf die konkret in der Vorlesung hingewiesen wird.

Informationen

Dozent:	Professor Dr. Heiko von der Mosel
Termine:	Freitag, 10:30 -- 12:00, Hörsaal I
Beginn:	11. Oktober 2024 ACHTUNG: Wir starten im Seminarraum 114 (Hauptgebäude, 1. Stock).
Übung:	Montag, 12:30 -- 14:00, Hörsaal IV
Beginn:	21. Oktober 2024

Übungsblätter

1. Serie vom 20.11.2024, pdf

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